ECUACIONES DE 2º GRADO

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0.

Resolución de ecuaciones de segundo grado

Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos la siguiente fórmula:

Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

FUNCIONES GRÁFICAS Y FUNCIONES NOTABLES

FUNCIONES.




Si escuchamos que el precio de la gasolina depende del barril de petroleo, estamos relacionando dos magnitudes, que pasaremos a llamar variables y las representaremos por X e Y, que depende la una de la otra. En este caso, el precio del barril sería la variable independiente y el precio de la gasolina sería la variable dependiente.

una función es una relación entre dos variables, que a cada valor de la variable independiente le hace corresponder un único valor de la variable dependiente, al que llamamos imagen.




CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS.




Una función es creciente en un intervalo si a medida que la variable independiente aumenta, los correspondientes valores de la función también aumentan.

Una función es decreciente en un intervalo si los valores de la función disminuyen a medida que la variable independiente aumenta en dicho intervalo.

Una función es constante en un intervalo si, para cualquier valor de la variable independiente que pertenezca

a dicho intervalo, la función no varía.

Una función f(x) alcanza un máximo relativo en un punto x = a cuando en cierto entorno de " a " la función siempre toma valores por debajo de f(a).

Una función f(x) alcanza un mínimo relativo en un punto x = a cuando en un cierto entorno de " a " la función siempre toma valores por encima de f(a).




CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.




Hay funciones en cuyos gráficos el trazado es continuo, no necesitan levantar el lápiz del papel, en ese caso, diremos que la función es continua y en caso contrario, discontinua.



LA FUNCIÓN LINEAL AFÍN Y CONSTANTE



Función lineal y = m x


La fórmula de la función lineal es: y = m x donde m es la pendiente de la recta (grado de inclinación). Estas rectas pasan siempre por el origen de coordenadas punto (0, 0).

La ordenada en el origen n es 0.

Estudiar y representar la siguiente recta y = 2x


La pendiente de la recta es 2 ( valor de m, coeficiente que hay delante de x ), cuando m es positiva la recta es creciente.


Pasa por el punto (0, 0)


Tabla de valores

x 1 0 -1
y 2 0 -2



Gráfica




Función afín y = m x + n


La fórmula de la función afín es: y = m x + n donde m es la pendiente de la recta (grado de inclinación). Si m es positiva le recta es creciente. Si m es negativa la recta es decreciente.


n: ordenada en el origen. Punto donde la recta corta al eje de ordenadas. Las coordenadas de este punto son: (0, n)

Estudiar y representar la siguiente recta y = 2x + 3


La pendiente de la recta es 2 , por ser positiva la recta es creciente.


La ordenada en el origen n = 3, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 3)


Tabla de valores

x 1 0 -1
y 5 3 1



Gráfica




Función constante y = n


La fórmula de la función constante es: y = n

La pendiente de la recta m = 0, no es ni creciente ni decreciente

No hace falta hacer tabla de valores la recta vale siempre n

Estudiar y representar la siguiente recta y = 3


La pendiente de la recta es 0, n = 3


Gráfica

TEOREMA DEL RESTO

                 El valor numérico, me vale para saber si un polinomio dividido entre otro
                 de grado uno es o no es exacta.
               
                 El valor numérico de un polinomio P(x) en x = a, coincide con el resto de la
                 división de P(x) entre (x - a.)
                 A esto se le llama teorema del resto.

El resto de la división de un polinomio P(x), 

entre un polinomio de la forma (x − a) 

es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Calcular por el teorema del resto el resto de la división:

P(x) : Q(x)

P(x)= x⁴ − 3x² + 2         Q(x) = x − 3

P(3) = 3⁴ − 3 · 3² + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

REGLA DE RUFFINI

Regla de Ruffini

Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar
 de ejemplo la división:

(x⁴ − 3x² + 2 ) : (x − 3)

1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo
 los términos que faltan con ceros.

2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término
 independendiente del divisor.

4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos
 debajo del siguiente término.

6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8El último número obtenido, 56 , es el resto.

9El cociente es un polinomio de grado inferior en
 una unidad al dividendo y cuyos coeficientes
 son los que hemos obtenido.

x³ + 3 x² + 6x +18

Ejemplo

Dividir por la regla de Ruffini:

(x⁵ − 32) : (x − 2)

C(x) = x⁴ + 2x³ + 4x² + 8x + 16

R = 0

POLINOMIOS Y SUS OPERACIONES

Un monomio es una expresión algebraica  con una sola indeterminada en el que las únicas operaciones que aparecen son el producto y la potencia de exponente natural.

Se llama polinomio a la expresión algebraica formada por la suma
 de varios monomios.

-Cada monomio recibe el nombre de término.
-El número que aparece multiplicando a la parte literal se denomina coeficiente.
- El Término que no tiene parte literal se denomina término independiente y el mayor grado de sus términos es el grado del polinomio.
- El término de mayor grado se denomina  término principal.

Los polinomios se suelen dar de forma ordenada y reducida; es decir,
 sumados los  monomios semejantes y ordenados según su grado


Operaciones con polinomios

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3         Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

 Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) +  Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

3Sumamos los monomios semejantes.

P(x) +  Q(x) = 4x³ − 3x² + 9x − 3

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro,

 de forma que los monomios semejantes queden en columnas y

 se puedan sumar.

P(x) = 7x⁴ + 4x² + 7x + 2        Q(x) = 6x³ + 8x +3

P(x) + Q(x) = 7x⁴ + 6x³ + 4x² + 15x + 5

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3

P(x) −  Q(x) = 3x² + x − 

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x² − 3    Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio

 por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) =

= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma

 de los grados de los polinomios que se multiplican.

División de polinomios

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo.

 Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y

 lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

 Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

Procedemos igual que antes.

5x³ : x² = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x² : x² = 8

10x −16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y

 por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³ + 2x² + 5x + 8 es el cociente.

IDENTIDADES NOTABLES

Binomio al cuadrado

(a ± b)² = a² ± 2 · a · b + b²

(x + 3)² = x ² + 2 · x ·3 + 3² = x ² + 6 x + 9

(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12 x + 9

Suma por diferencia

(a + b) · (a − b) = a² − b²

(2x + 5) · (2x - 5) = (2x)² − 5² = 4x² − 25

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ( Primer grado con dos incógnitas )

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

3x + y = 7

-Infinidad de soluciones.

-Dando un valor a una se obtiene un valor para la otra

x =2 ; y = 1

x =1 ; y = 4 

-Tres métodos alternativos ( a elegir ).

Cualquiera de los tres es  válido

 2. Sistemas de ecuaciones.

2.1.Método de sustitución

2.2.Método de reducción

2.3.Método de igualación

Resolver un sistema por el
método de reducción
consiste en encontrar otro
sistema, con las mismas
soluciones, que tenga los
coeficientes de una misma
incógnita iguales o de signo
contrario, para que al restar ó
sumar las dos ecuaciones la
incógnita desaparezca.
   
 Para resolver un sistema por
el método de sustitución se
despeja una incógnita en una
de las ecuaciones y se
sustituye su valor en la otra.

 Para resolver un sistema por
el método de igualación se
despeja la misma incógnita
en  las dos ecuaciones y se
igualan.